Question

4．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A（x₁，y₁），α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转$\frac{π}{4}$，交单位圆于点B（x₂，y₂）．过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及△BOD的面积分别为S₁，S₂，且S₁=$\frac{4}{3}$S₂，则tanα的值等于（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 利用任意角的三角函数的定义求得S₁，S₂的值，再根据S₁=$\frac{4}{3}$S₂，求得tan2α的值，可得tanα的值．

解答 解：由题意可得S₁ =$\frac{1}{2}$•cosα•sinα=$\frac{1}{4}$sin2α，S₂ =$\frac{1}{2}$•[-cos（$α+\frac{π}{4}$）]•sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{4}$sin（2α+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{4}$cos2α．
再根据S₁=$\frac{4}{3}$S₂，可得$\frac{1}{4}$•sin2α=$\frac{4}{3}$•（-$\frac{1}{4}$cos2α），∴tan2α=-$\frac{4}{3}$=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$，
求得tanα=2，或tanα=-$\frac{1}{2}$ （不满足α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），故舍去），
故选：B．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题．