Question

11．已知数列{a_n}、{b_n}满足：a_n+1=a_n+1，b${\;}_{n+1}={b}_{n}+\frac{1}{2}{a}_{n}$，c_n=a${\;}_{n}^{2}-4{b}_{n}$，n∈N⁺；
（1）若a₁=1，b₁=0，求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）证明：数列{c_n}是等差数列；
（3）定义f_n（x）=x²+a_nx+b_n，在（1）的条件下，是否存在n，使得f_n（x）有两个整数零点，如果有，求出n满足的集合，如果没有，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，求出其通项公式后代入又b₁=0，${b}_{n+1}={b}_{n}+\frac{1}{2}{a}_{n}$，然后利用累加法求得{b_n}的通项公式；
（2）把（1）中求得的{a_n}、{b_n}的通项公式代入${c}_{n}={{a}_{n}}^{2}-4{b}_{n}$，整理后利用等差数列的定义证明数列{c_n}是等差数列；
（3）把（1）中求得的{a_n}、{b_n}的通项公式代入f_n（x）=x²+a_nx+b_n，求出方程f_n（x）=0的判别式，可得要使f_n（x）有两个整数零点，则n必为完全平方数，取n=k²，k∈Z且k≠0，代入求根公式可知，f_n（x）有两个整数零点．

解答 （1）解：由a_n+1=a_n+1，a₁=1，可知数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
则a_n=1+1×（n-1）=n，
又b₁=0，${b}_{n+1}={b}_{n}+\frac{1}{2}{a}_{n}={b}_{n}+\frac{n}{2}$，
可得${b}_{2}={b}_{1}+\frac{1}{2}$，${b}_{3}={b}_{2}+\frac{2}{2}$，…，${b}_{n}={b}_{n-1}+\frac{n-1}{2}$（n≥2），
累加得：${b}_{n}={b}_{0}+\frac{1}{2}[1+2+…+（n-1）]=\frac{1}{2}×\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{n（n-1）}{4}$；
（2）证明：${c}_{n}={{a}_{n}}^{2}-4{b}_{n}$=${n}^{2}-4×\frac{n（n-1）}{4}=n$，
∵c_n+1-c_n=（n+1）-n=1，
∴数列{c_n}是公差为1的等差数列；
（3）解：f_n（x）=x²+a_nx+b_n =${x}^{2}+nx+\frac{n（n-1）}{4}$，
由f_n（x）=${x}^{2}+nx+\frac{n（n-1）}{4}$=0，
得$x=\frac{-n±\sqrt{{n}^{2}-4•\frac{n（n-1）}{4}}}{2}$=$\frac{-n±\sqrt{n}}{2}$，
要使f_n（x）有两个整数零点，则n必为完全平方数，
不妨设n=k²，k∈Z且k≠0，
则x=$\frac{-{k}^{2}±k}{2}$，此时x₁=$\frac{-{k}^{2}-k}{2}=-\frac{k（k+1）}{2}$，而k（k+1）为两个连续整数得积，
∴x₁为整数；
${x}_{2}=\frac{-{k}^{2}+k}{2}=-\frac{k（k-1）}{2}$，而k（k-1）为两个连续整数得积，
∴x₂为整数．
∴存在n，使得f_n（x）有两个整数零点，此时n的集合为{n|n=k²，k∈Z且k≠0}．

点评 本题考查数列递推式，训练了等差数列和等比数列通项公式的求法，考查了函数零点的判断，属中档题．