Question

5．已知关于x的不等式（ax-1）（x-2）＞2的解集为A，且3∉A．
（I）求实数a的取值范围；
（II）求集合A．

Answer 1

分析 （I）根据题意，把x=3代入（ax-1）（x-2）≤2中，求出a的取值范围；
（II）根据（ax-1）（x-2）＞2，讨论a的取值，求出对应不等式的解集．

解答 解：（I）∵3∉A，
∴当x=3时，有（ax-1）（x-2）≤2，
即3a-1≤2；
解得a≤1，
即a的取值范围是{a|a≤1}；…（3分）
（II）（ax-1）（x-2）＞2，
∴（ax-1）（x-2）-2＞0，
∴ax²-（2a+1）x＞0，…（4分）
当a=0时，集合A={x|x＜0}；…（5分）
当$a＜-\frac{1}{2}$时，集合$A=\left\{{x|0＜x＜2+\frac{1}{a}}\right\}$；…（6分）
当$a=-\frac{1}{2}$时，原不等式的解集A为空集；…（7分）
当$-\frac{1}{2}＜a＜0$时，集合$A=\left\{{x|2+\frac{1}{a}＜x＜0}\right\}$；…（8分）
当0＜a≤1时，集合$A=\left\{{x|x＜0或x＞2+\frac{1}{a}}\right\}$．…（9分）

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．