Question

9．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞0}\\{-2x-1，x≤0}\end{array}\right.$，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x²+y²+2x+2y在D上的最小值为-$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最小值即可．

解答 解：当x＞0时，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x-1，
D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．

而z=x²+y²+2x+2y=（x+1）²+（y+1）²-2，
表示以（-1，-1）为圆心，以（-1，-1）与阴影部分内的点为半径的平方再减2，
显然（-1，-1）到直线AC的距离最小，
由C（-$\frac{1}{2}$，0），A（0，-1）得AC的方程是：2x+y+1=0，
此时，r=d=$\frac{|-2-1+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，r²=$\frac{4}{5}$，
故z的最小值是$\frac{4}{5}$-2=-$\frac{6}{5}$，
故答案为：-$\frac{6}{5}$．

点评 本题主要考查了线性规划，以及利用导数研究函数的切线，同时考查了作图的能力和分析求解的能力，属于中档题．