Question

如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，

CD=SD=1．

（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．

Answer 1

解答：

（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，

∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1

∴AD==

∵侧面SAB为等边三角形，AB=2

∴SA=2

∵SD=1

∴AD²=SA²+SD²

∴SD⊥SA

同理：SD⊥SB

∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB

∴SD⊥平面SAB

（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系

则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），

作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）

则

设平面SBC的一个法向量为

则，

即

取x=0，y=，z=1

即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）

又=（0，2，0）

sin＜，＞===

∴＜，＞=arcsin

即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin