题目内容
12．
如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形，除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x1，x2，…xk，其中xi∈{0，1}（1≤i≤k），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x0；（1）当k=4时，若要求x0为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？
（2）当k=11时，若要求x0为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？
分析 （1）确定x0=x1+3x2+3x3+x4．因为x0为2的倍数，所以x1+x2+x3+x4是2的倍数，则x1，x2，x3，x4四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1，即可得到标注方法；
（2）确定只要x1+C101x2+C109x10+x11是3的倍数，即只要x1+x2+x10+x11是3的倍数，所以x1、x2、x10、x11四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个可以取0或1，即可得到标注方法．
解答 解：（1）当k=4时，第4层标注数字依次为x1，x2，x3，x4，第3层标注数字依次为x1+x2，x2+x3，x3+x4，第2层标注数字依次为x1+2x2+x3，x2+2x3+x4，所以x0=x1+3x2+3x3+x4．
因为x0为2的倍数，所以x1+x2+x3+x4是2的倍数，则x1，x2，x3，x4四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1，所以共有1+C42+1=8种标注方法．
（2）当k=11时，第11层标注数字依次为x1，x2，…，x11，第10层标注数字依次为x1+x2，x2+x3，…，x10+x11，第9层标注数字依次为x1+2x2+x3，x2+2x3+x4，…，x9+2x10+x11，以此类推，可得x0=x1+C101x2+…+C109x10+x11．
因为C102=C108=45，C103=C107=120，C104=C106=210，C105=252均为3的倍数，所以只要x1+C101x2+C109x10+x11是3的倍数，即只要x1+x2+x10+x11是3的倍数，
所以x1、x2、x10、x11四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个可以取0或1，这样共有（1+C43）×27=640种标注方法．
点评 本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
| A． | y=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$） | B． | y=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$） | C． | y=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$） | D． | y=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$） |
| A． | 1200 | B． | 960 | C． | 720 | D． | 480 |
| A． | 好教师 | B． | 未来世界的高科技产品 | ||
| C． | 2014年巴西世界杯的参赛国 | D． | 上海世博会好看的展馆 |
