Question

如图，已知椭圆C:的左、右焦点为，其上顶点为.已知是边长为的正三角形.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点任作一动直线交椭圆C于两点，记若在线段上取一点使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在请求出该定直线，若不在请说明理由.

 

 

Answer 1

（1）；（2）点R在定直线上．

【解析】

试题分析：（1）由△F1AF2是边长为2的正三角形，可得c=1，a=2，从而可求b，即可得到椭圆C的方程；

（2）设直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，由，确定λ的值，由，可得R的横坐标为定值，即可得到结论．

试题解析：（1）是边长为的正三角形，则， 1分

故椭圆C的方程为. 3分

(2)直线MN的斜率必存在，设其直线方程为,并设.

联立方程，消去得，则

4分

由得，故. 5分

设点R的坐标为，则由得，解得

. 8分

又，

，从而，故点R在定直线上. 10分

 

考点：１．椭圆方程；２．直线与椭圆的位置关系;3. 向量知识的运用．