Question

12．设双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），若存在圆心在双曲线的一条惭近线上且与另一条惭近线及x轴都相切的圆，则双曲线的惭近线方程是y=$±\sqrt{3}$x，离心率为2．

Answer 1

分析 不妨设圆心在双曲线一条渐近线y=$\frac{b}{a}x$上，设出C的坐标，由C到x轴的距离等于到直线y=-$\frac{b}{a}x$的距离列式求得双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两条渐近线方程分别为y=-$\frac{b}{a}x$和y=$\frac{b}{a}x$，
不妨设圆心在双曲线一条渐近线y=$\frac{b}{a}x$上，
设圆C的圆心C（${x}_{0}，\frac{b}{a}{x}_{0}$），
由题意可知，C到x轴的距离等于C到直线y=-$\frac{b}{a}x$的距离，
则$|\frac{b}{a}{x}_{0}|=\frac{|b{x}_{0}+a•\frac{b}{a}{x}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{|2b{x}_{0}|}{c}$，
即$\frac{b}{a}=\frac{2b}{c}$，
∴$\frac{c}{a}=e=2$．此时c=2a，则b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}=\sqrt{3}a$，
则$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
即双曲线的渐近线方程为y=$±\sqrt{3}$x，
故答案为：y=$±\sqrt{3}$x，2．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查了点到直线距离公式的应用，体现了数学转化思想方法，根据条件建立方程是解决本题的关键．考查学生的计算能力．