Question

20．设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB=x，求△ADP的最大面积及相应x的值．

Answer 1

分析 由题意可知，AB=x，即AD=12-x．设PC=a，则DP=x-a，AP=a，再根据△ADP为直角三角形，得出a关于x的表达式，再用三角形面积计算公式，得出△ADP的面积关于x的表达式，再利用基本不等式可得△ADP的面积的最大值及相应的x的值．

解答 解：由题意可知，矩形ABCD（AB＞CD）的周长为24，
AB=x，即AD=12-x，
设PC=a，则DP=x-a，AP=a，而△ADP为直角三角形，
∴（12-x）²+（x-a）²=a²，
∴$a=x+\frac{72}{x}-12$，
∴$DP=12-\frac{72}{x}$，
∴${S_{△ADP}}=\frac{1}{2}×AD×DP=\frac{1}{2}×（12-x）×（12-\frac{72}{x}）$
=$108-\frac{432}{x}-6x$$≤108-2\sqrt{\frac{432}{x}•6x}$=$108-72\sqrt{2}$．
当且仅当$\frac{432}{x}=6x$时，即$x=6\sqrt{2}$，此时$AD=12-6\sqrt{2}$满足AB＞AD，
即$x=6\sqrt{2}$时△ADP取最大面积为$108-72\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．