Question

4．下列说法正确的有②④ （填序号）
①命题“若x=$\frac{π}{6}$，则sinx=$\frac{1}{2}$”的逆命题为真命题
②在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B
③命题“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，都有x²+x+1＞0”
④函数f（x）=x-sinx在R上有且只有一个零点
⑤已知扇形周长为6cm，面积为2cm²，则扇形中心角为1．

Answer 1

分析 运用所学知识逐个判断真假．①写出逆命题，再判断真假；②采用正弦定理推导；③特称命题的否定，改条件，否结论；④单调性法结合零点存在性定理判断．若用数形结合构造函数作函数y=x和y=sinx的图象，对y=sinx作图不规范，容易画出3个交点，从而认为是3个零点，而导致错误，此命题易错；⑤方程思想联立方程组计算可得．

解答 解：分别判断命题①至⑤真假如下；
命题①：“若x=$\frac{π}{6}$，则sinx=$\frac{1}{2}$”的逆命题为“若sinx=$\frac{1}{2}$，则$x=\frac{π}{6}$”是假命题．
解方程sinx=$\frac{1}{2}$，得：$x=\frac{π}{6}+2kπ$或$x=\frac{5π}{6}+2kπ$（k∈Z），
∴所以命题①不正确．
命题②：在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$且 sinA＞sinB，
∴a＞b，
又∵三角形ABC中，大边对大角，小边对小角，
∴A＞B  
故命题②是真命题，即命题②正确．
命题③：命题“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，都有x²+x+1≥0”，
故命题③不正确．
命题④：对函数求导得f′（x）=1-cosx≥0，知f（x）为R上的增函数，
又有f（0）=0，
所以，函数f（x）在R上有且只有一个零点．
故命题④正确．
命题⑤：设扇形半径为R，扇形弧长为L，周长为C，面积为S，扇形中心角为α，
列方程组如下：
$\left\{\begin{array}{l}{C=2R+L}\\{L=αR}\\{S=\frac{1}{2}LR}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{L=2}\\{R=2}\\{α=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{L=4}\\{R=1}\\{α=4}\end{array}\right.$，
∴扇形中心角为1或4，命题⑤不正确．
故答案为：②④．

点评 本题涉及知识面比较广，要求对各模块知识点掌握，但各命题判断难度不大，属于中档题．