Question

1．已知直线l₁：4x-3y+6=0和直线l₂：x=-$\frac{p}{2}$（p＞0）．若抛物线C：y²=2px上的点到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值为2．
（I）求抛物线C的方程；
（II）若以抛物线上任意一点M为切点的直线l与直线l₂交于点N，试问在x轴上是否存在定点Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由椭圆的定义可知，抛物线的焦点（$\frac{p}{2}$，0），根据抛物线上的点到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值为焦点F到直线l₂的距离，根据点到直线的距离公式，即可求得p的值，求得抛物线方程；
（II）设直线M（x₀，y₀），y-y₀=k（x-x₀），代入抛物线方程，由与抛物线相切，△=0，求得k=$\frac{2}{{y}_{0}}$，代入求得N点坐标，求得向量$\overrightarrow{OM}$和$\overrightarrow{QN}$，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{QN}$=0，根据向量数量积的坐标运算，（1-x₁）x₀+${x}_{1}^{2}$+x₁-2=0，即可求得x₁=1，即在x轴上存在点到Q（1，0）在以MN为直径的圆上．

解答 解：（I）由题意可知，l₂为抛物线的准线，抛物线的焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0），
由抛物线的定义可知抛物线上的点到直线l₂的距离等于其到焦点F的距离，
∴抛物线上的点到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值为焦点F到直线l₂的距离，
∴d=$\frac{丨2p+6丨}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=2，解得：p=2，
∴抛物线的方程为：y²=4x，
（II）设M（x₀，y₀），由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，设为直线的斜率为k，
则直线方程为：y-y₀=k（x-x₀），代入抛物线线方程，整理得：ky²-4y+4y₀-k${y}_{0}^{2}$=0，
△=16-4k（4y₀-k${y}_{0}^{2}$）=0，求得k=$\frac{2}{{y}_{0}}$，
∴直线l的方程为：y-y₀=$\frac{2}{{y}_{0}}$（x-x₀），令x=-1，又由${y}_{0}^{2}=4{x}_{0}$，可知N（-1，$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{2{y}_{0}}$），

设Q（x₁，0），$\overrightarrow{OM}$=（x₀-x₁，y₀），$\overrightarrow{QN}$=（-1-x₁，$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{2{y}_{0}}$），
由题意可知$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{QN}$=0，
∴（x₀-x₁）（-1-x₁）+y₀•$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{2{y}_{0}}$=0，
把${y}_{0}^{2}=4{x}_{0}$，代入上式，可得：（1-x₁）x₀+${x}_{1}^{2}$+x₁-2=0，
∵对任意的x₀等式恒成立，$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}_{1}=0}\\{{x}_{1}^{2}+{x}_{1}-2=0}\end{array}\right.$，
∴x₁=1，即在x轴上存在点到Q（1，0）在以MN为直径的圆上．

点评 本题考查抛物线的方程及性质，考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，向量数量积的坐标运算的综合应用，考查转化思想，属于中档题．