Question

若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的“正函数”，若f（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函数，则实数k的取值范围是

 

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Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据函数f（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函数，则f（a）=b，f（b）=a，建立方程组，消去b，求出a的取值范围，转化成关于a的方程a²+a+k+1=0在区间（-1，-

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）内有实数解进行求解．

解答： 解：因为函数f（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函数，
所以a＜b＜0，
所以当x∈[a，b]时，函数单调递减，则f（a）=b，f（b）=a，
即a²+k=b，b²+k=a，
两式相减得a²-b²=b-a，即b=-（a+1），
代入a²+k=b得a²+a+k+1=0，
由a＜b＜0，且b=-（a+1），
∴a＜-（a+1）＜0，
解得-1＜a＜-

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．
故关于a的方程a²+a+k+1=0在区间（-1，-

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）内有实数解，
记h（a）=a²+a+k+1，
则 h（-1）＞0，h（-

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）＜0，即1-1+k+1＞0且

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-

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+k+1＜0，
解得k＞-1且k＜-

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．
即-1＜k＜-

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．
故答案为：（-1，-

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）．

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的运用，考查函数方程的转化思想，考查运算能力，属于中档题和易错题．