Question

10．已知在三角形ABC中，角A，B都是锐角，且sin（B+C）+3sin（A+C）cosC=0，则tanA的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由sin（B+C）+3sin（A+C）cosC=0，得出tanC=-4tanB，tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\frac{3}{\frac{1}{tanB}+4tanB}$，利用基本不等式可得结论．

解答 解：由sin（B+C）+3sin（A+C）cosC=0，得-3cosCsinB=sinA，
∴-3cosCsinB=sinCcosB+cosCsinB，
∴-4cosCsinB=sinCcosB，
∴tanC=-4tanB
∴tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\frac{3}{\frac{1}{tanB}+4tanB}$，
B为锐角可得tanB＞0．∴$\frac{3}{\frac{1}{tanB}+4tanB}$≤$\frac{3}{4}$
∴tanA的最大值为$\frac{3}{4}$．
故选A．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，基本不等式的应用，属于中档题．