Question

12．已知函数$f（x）=-\frac{1}{x}-2$
（1）求证：f（x）在区间（-∞，0）上是单调增函数．
（2）求证：f（x）在定义域内不是单调增函数．

Answer 1

分析 （1）利用定义法判断即可．
（2）利用特特值证明即可．

解答 解：（1）证明：设任意x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（-\frac{1}{x_1}-2）-（-\frac{1}{x_2}-2）=\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$
∵x₁，x₂∈（-∞，0），∴x₁x₂＞0；
又x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
所以：$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}＜0$，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间（-∞，0）上是单调增函数．
2）由题意：f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
在定义域上取x₁=-1，x₂=1，则f（x₁）=-1，f（x₂）=-3
此时有：x₁＜x₂，但f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在定义域内不是单调增函数．

点评 本题考查了用定义法判断单调性，同时考查了由特殊到一般的思想，采取特殊性证明其不成立即可．属于基础题．