Question

3．已知a为锐角，且7sinα=2cos2α，则sin（α+$\frac{π}{3}$）=（　　）

• A． $\frac{{1+3\sqrt{5}}}{8}$
• B． $\frac{{1+5\sqrt{3}}}{8}$
• C． $\frac{{1-3\sqrt{5}}}{8}$
• D． $\frac{{1-5\sqrt{3}}}{8}$

Answer 1

分析 由已知得4sin²α+7sinα-2=0，从而求出sinα=$\frac{1}{4}$，cosα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，再由sin（α+$\frac{π}{3}$）=sin$αcos\frac{π}{3}+cosαsin\frac{π}{3}$，能求出结果．

解答 解：∵α为锐角，且7sinα=2cos2α，
∴7sinα=2（1-2sin²α），
∴4sin²α+7sinα-2=0，
∴sinα=-2（舍）sinα=$\frac{1}{4}$，
∴cosα=$\sqrt{1-（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=sin$αcos\frac{π}{3}+cosαsin\frac{π}{3}$
=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1+3\sqrt{5}}{8}$．
故选：A．

点评 本题考查三弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式、正弦加法定理的合理运用．