Question

16．函数f（x）=sin³x+cos2x-cos²x-sinx的最大值等于（　　）

• A． $\frac{4}{27}$
• B． $\frac{5}{27}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{16}{27}$

Answer 1

分析 通过三角函数的平方关系式化简函数的表达式，利用换元法通过函数的导数求解函数在闭区间上的最大值即可．

解答 解：y=sin³x+cos2x-cos²x-sinx=sin³x+1-2sin²x-cos²x-sinx=sin³x-sin²x-sinx，令sinx=t∈[-1，1]，
∴y=t³-t²-t，
∴y′=3t²-2t-1，
令3t²-2t-1=0，
可得t=1或t=-$\frac{1}{3}$，
当t∈[-1，-$\frac{1}{3}$]时，函数y是增函数，t∈[-$\frac{1}{3}$，1]时函数是减函数，
∴函数y的最大值为：（-$\frac{1}{3}$）³-（$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{27}$．
故选：B．

点评 本题考查函数在闭区间上的最大值的求法，三角函数的化简与求值，考查转化思想以及计算能力．