Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，sin2x），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）（x∈R）的单调增区间；
（2）若f（α-$\frac{π}{3}$）=2，α∈[$\frac{π}{2}$，π]，求sin（2α+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐标结合数量积公式得到f（x），再由倍角公式及两角和的正弦化简得答案；
（2）由f（α-$\frac{π}{3}$）=2列式求得cos（$2α+\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，由α得范围求得$2α+\frac{π}{6}$的范围，再由平方关系求得sin（2α+$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cos²x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，sin2x），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2cos²x+$\sqrt{3}sin2x$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$．
∴函数f（x）的单调增区间为[$kπ-\frac{π}{3}$，$kπ+\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（2）f（α-$\frac{π}{3}$）=2sin（2$α-\frac{2π}{3}+\frac{π}{3}$）+1=2sin（2α-$\frac{π}{3}$）+1=2，
∴sin（2α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
则sin（$\frac{π}{3}-2α$）=-$\frac{1}{2}$，即cos（$2α+\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
∵α∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴$2α+\frac{π}{6}$∈[$\frac{7π}{6}，\frac{13π}{6}$]，
则sin（2α+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（2α+\frac{π}{6}）}=-\sqrt{1-（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数的倍角公式的应用，是中档题．