Question

如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，则A₁到平面ABCD的距离为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  5

  3

• C．

  6

  3

• D．

  6

  4

Answer 1

分析：记A₁在面ABCD内的射影为O，结合题意可得O在∠BAD的平分线上，而∠BAD的平分线即菱形ABCD的对角线AC，在直角三角形AA₁O中利用三角函数的定义加以计算，求出A₁O即得A₁到平面ABCD的距离．

解答：解：记A₁在面ABCD内的射影为O，
∵∠A₁AB=∠A₁AD，∴O在∠BAD的平分线上，
又∵AB=AD，∴∠BAD的平分线即菱形ABCD的对角线AC，故O在AC上
∵cos∠A₁AB=cos∠A₁AO×cos∠OAB，∠A₁AB=60°，∠OAB=30°
∴cos60°=cos∠A₁AO•cos30°，可得cos∠A₁AO=

3

3

因此，sin∠A₁AO=

1-cos2∠A1AO

=

6

3

，
∵在Rt△A₁AO中，AA₁=1，∴A₁O=AA₁sin∠A₁AO=

6

3

，
即A₁到平面ABCD的距离为

6

3

故选：C

点评：本题着重考查了线面垂直的判定与性质、三角函数在直角三角形中的定义、空间点到平面的距离定义及求法和菱形的性质等知识，属于中档题．