Question

18．已知二次函数f（x）=ax²-bx+2（a＞0）
（1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，求a和b的值；
（2）若b=2a+1，
①解关于x的不等式f（x）≤0；
②若对任意a∈[1，2]，f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用不等式的解集，推出方程的两个根，利用根与系数的关系求解即可．
（2）①转化不等式，利用二次不等式的解法，求解即可．
②化简函数的解析式，利用函数的零点判定定理．列出不等式组求解即可．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}所以与之对应的二次方程ax²-bx+2=0的两个根为1，2由根与系数关系的a=1，b=3…（4分）
（2）关于x的不等式f（x）≤0，ax²-（2a+1）x+2＜0，即（x-2）（x-$\frac{1}{a}$）≤0，
若a＞$\frac{1}{2}$，解集是{x|1a≤x≤2}；
若0＜a＜$\frac{1}{2}$，解集是{x|2≤x≤$\frac{1}{a}$}；
若a=$\frac{1}{2}$，解集是{x|x=2}…（10分）
（3）二次函数f（x）=ax²-bx+2=ax²-（2a+1）x+2=a（x²-2x）-x+2，
令$\begin{array}{l}g（a）=a（{x^2}-2x）-x+2\end{array}$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{g（1）＞0}\\{g（2）＞0}\end{array}}\right.或x=0解得\left\{{x|x＞2或x＜\frac{1}{2}或x=0}\right\}$…（14分）

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，二次不等式的解法，考查分类讨论以及转化思想的应用，考查计算能力．