Question

7．如图，已知长方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（Ⅰ）求证：AD⊥BM；
（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M-ADE的体积为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由勾股定理证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD⊥BM；
（Ⅱ）三棱锥M-ADE的体积就是三棱锥E-ADM的体积，而三角形ADM面积已知，则可以算出三棱锥E-ADM的高h，由（Ⅰ）可知BM⊥面ADM，通过h与BM的比值可确定E点在BD上的位置．

解答 （Ⅰ）证明：∵ABCD为长方形，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M为DC的中点，
∴AM=2，BM=2，AB²=AM²+BM²，∴BM⊥AM，
又∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM，
∴BM⊥平面ADM，
又∵AD?平面ADM，∴AD⊥BM；
（Ⅱ）解：在△BDM中，作EF∥BM交DM于F．
由（Ⅰ）知BM⊥平面ADM，
∴EF⊥平面ADM，EF是三棱锥E-MAD的高，
V_M-ADE=V_E-MAD=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$AD•DM）•EF=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{6}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$×EF=$\frac{1}{3}$，
则EF=1，
在△DMB中，BM=2，且EF∥BM，
∴EF为中位线，即E为BD的中点．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查利用等积法求三棱锥的体积，折叠问题重点分析折叠后未变的平行与垂直关系，线段的长，角度的不变的量；该题作为探究性问题，先把结论当成已知，然后结合已知条件列出方程求解，属中档题．