Question

10．已知某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按50个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产30台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如表：

家电名称	空调器	彩电	冰箱
工时	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$
产值/千元	5	4	3

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）

Answer 1

分析 设出变量，建立目标函数和约束条件，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：设每周生产空调器x台、彩电y台，则生产冰箱120-x-y台，产值为z．则目标函数为
z=5x+4y+3（120-x-y）=2x+y+360                     …（2分）
题目中包含的限制条件为$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}y+\frac{1}{3}（120-x-y）≤50}\\{120-x-y≥30}\\{x∈N，y∈N}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤120}\\{x+y≤90}\\{x，y∈N}\end{array}\right.$…（5分）+（3分）
作出不等式组对应的平面区域如图（8分）
又因为目标函数可转化为y=-2x+z=260，且-2＜-1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=120}\\{x+y=90}\end{array}\right.$得点M的坐标为（70，20），
所以z的最大值为z=2×70+20+360=520（千元）．…（10分）
则每周应生产空调器70台，彩电20台，冰箱30台，产值最高，最高产值为520千元．
…（12分）

点评 本题主要考查线性规划的应用问题，根据条件，建立目标函数和约束条件，利用数形结合是解决本题的关键．