Question

7．已知点O是△ABC外心，AB=4，AO=3，则$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的取值范围是[-4，20]．

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，固定A，B两点，求出A，B的坐标，设C（3cosθ，3sinθ），使用坐标表示出向量的数量积，转化为关于θ的函数求最值．

解答 解：以O为坐标原点建立平面直角坐标系，设A（3，0），
由余弦定理得cos∠AOB=$\frac{O{A}^{2}+O{B}^{2}-A{B}^{2}}{2OA•OB}$=$\frac{1}{9}$，∴B（$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{80}}{3}$）．
设C（3cosθ，3sinθ），则$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{8}{3}$，$\frac{\sqrt{80}}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（3cosθ-3，3sinθ）．
∴$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=8-8cosθ+$\sqrt{80}$sinθ=8+12sin（θ-φ）．
∴当sin（θ-φ）=-1时，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$取得最小值-4，当sin（θ-φ）=1时，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$取得最大值20．
故答案为[-4，20]．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是解题常用方法．