Question

10．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为正方形ABCD的两条对角线的交点，点F是棱AB的中点，则异面直线AC₁与EF所成角的正切值为（　　）

• A． -$\sqrt{2}$
• B． -$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 推导出EF∥AD，从而∠DAC₁是异面直线AC₁与EF所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AC₁与EF所成角的正切值．

解答 解：∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为正方形ABCD的两条对角线的交点，点F是棱AB的中点，
∴EF∥AD，
∴∠DAC₁是异面直线AC₁与EF所成角（或所成角的补角），
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为a，
则DC₁=$\sqrt{2}a$，AD=a，
∴tan∠DAC₁=$\frac{D{C}_{1}}{DA}$=$\frac{\sqrt{2}a}{a}$=$\sqrt{2}$．
∴异面直线AC₁与EF所成角的正切值为$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．