Question

20．设函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$．
（I） 求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）．证明：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）由单调性不妨设：x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），由（x₁）=f（x₂），只需证明f（x₂）＜f（2-x₂），即证：${e}^{{x}_{2}}$（2-x₂）-x₂${e}^{2{-x}_{2}}$＜0，设g（x）=e^x（2-x）-xe^2-x，（1＜x＜2），根据函数的单调性证出结论即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域是{x|x≠0}，
f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1且x≠0，
∴f（x）在（1，+∞）递增，在（-∞，0），（0，1）递减；
（Ⅱ）证明：x＜0时，f（x）＜0，x＞0时，f（x）＞0，
如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），由（1）：x₁＞0，x₂＞0，
由单调性不妨设：x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
若x₂≥2，则有：x₁+x₂＞2成立，
若：1＜x₂＜2，则有0＜2-x₂＜1，
要证x₁+x₂＞2，只需证明x₁＞2-x₂，
由单调性及0＜x₁＜1，0＜2-x₂＜1，
只需证明f（x₁）＜f（2-x₂），
由f（x₁）=f（x₂），
只需证明f（x₂）＜f（2-x₂），
即证$\frac{{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{2}}$＜$\frac{{e}^{2{-x}_{2}}}{2{-x}_{2}}$，即证：${e}^{{x}_{2}}$（2-x₂）-x₂${e}^{2{-x}_{2}}$＜0，
设g（x）=e^x（2-x）-xe^2-x，（1＜x＜2），
则g′（x）=（x-1）（e^2-x-e^x），
由1＜x＜2，有0＜2-x＜1＜x＜2，
则e^2-x＜e^x，
则1＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减，
则g（x）＜g（1）=0，
又1＜x₂＜2，
则${e}^{{x}_{2}}$（2-x₂）-x₂${e}^{2{-x}_{2}}$＜0，
即x₁+x₂＞2成立，
综上：x₁+x₂＞2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．