Question

14．已知函数$f（x）=\frac{lnx}{x+a}+b-1$，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（1）求a，b
（2）试比较2016²⁰¹⁷与2017²⁰¹⁶的大小，并说明理由．
（3）当c＜1时，证明：对任意的x＞0，有$\frac{（x+1）lnx}{x}-x+c-1＜0$．

Answer 1

分析 （1）根据f（1）=1-1=b-1，求出b的值，求出函数的导数，根据f′（1）=1，求出a的值即可；
（2）求出f（x）的解析式，求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而判断大小即可；
（3）问题转化为只需证明$\frac{lnx}{x}$≤x-lnx，令g（x）=x-lnx，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）∵f（1）=1-1=0，
∴f（1）=b-1=0，故b=1，
f′（x）=$\frac{\frac{x+a}{x}-lnx}{{（x+a）}^{2}}$，∴f′（1）=1，
∴$\frac{1+a}{{（1+a）}^{2}}$=1，
∴a=0；
（2）由（1）f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，
故f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
∵2016＜2017，$\frac{ln2016}{2016}$＞$\frac{ln2017}{20′17}$，
∴2016²⁰¹⁷＞2017²⁰¹⁶；
（3）要证$\frac{（x+1）lnx}{x}-x+c-1＜0$，
即证lnx+$\frac{lnx}{x}$-x+c-1＜0，
∵c＜1，∴c-1＜0，
故只需证明lnx+$\frac{lnx}{x}$-x≤0，
即只需证明$\frac{lnx}{x}$≤x-lnx，
令g（x）=x-lnx，
∵f（x）≤f（e）=$\frac{1}{e}$，g′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故g（x）≥g（1）=1，
∵1＞$\frac{1}{e}$，∴f（x）≤g（x），
∴$\frac{（x+1）lnx}{x}-x+c-1＜0$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．