Question

3．如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从ABCD顶点A开始，顺次经B，C，D绕边界一周，当x表示点P的行程，f（x）表示线段PA之长时，求f（x）的解析式，并求f（3）的值．

Answer 1

分析 分点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动以及点P在DA上运动时，求出PA的表达式，用分段函数表示出来即可；把x=3代入对应的函数f（x）的解析式，求值即可．

解答 解：如图，当点P在AB上运动时，PA=x，
即y=x，0≤x≤2；
当点P在BC上运动时，y=$\sqrt{4+（x-2）^{2}}$，2＜x≤4；
当点P在CD上运动时，y=$\sqrt{4+（6-x）^{2}}$，4＜x≤6；
当点P在DA上运动时，y=6-x，6＜x≤8
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，0≤x≤2}\\{\sqrt{4+（x-2）^{2}}，2＜x≤4}\\{\sqrt{4+（6-x）^{2}}，4＜x≤6}\\{6-x，6＜x≤8}\end{array}\right.$；
f（3）=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了分段函数模型的应用问题，分段函数是把定义域分成几个适当的区间，在各个区间上对应着不同的解析式．