Question

17．如图，直三棱柱（侧棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁中，$CA=CB=\frac{1}{2}C{C_1}$，点D棱AA₁的中点，且C₁D⊥BD．
（1）求证：CA⊥CB；
（2）若CA=1，求四棱锥C₁-A₁B₁BD的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出C₁D⊥CD，C₁D⊥BD，C₁D⊥BC，BC⊥CC₁，且CC₁∩C₁D=C₁，由此能证明CA⊥CB．
（2）过C₁作C₁M⊥A₁B₁于M，由此能求出四棱锥C₁-A₁B₁BD的体积．

解答 证明：（1）∵四边形ACC₁是矩形，且D是棱AA₁的中点，
∴C₁D⊥CD，又C₁D⊥BD，且BD∩CD=D，
∴C₁D⊥平面BCD，
∵BC?平面BCD，∴C₁D⊥BC，
又∵BC⊥CC₁，且CC₁∩C₁D=C₁，
∴BC⊥平面ACC₁D₁，AC?平面ACC₁D₁，
∴CA⊥CB．
解：（2）过C₁作C₁M⊥A₁B₁于M，∵平面A₁B₁C₁⊥平面ABB₁A₁
∴C₁M⊥平面ABB₁A₁…（8分）
∵CA=1∴${A_1}D=1，A{A_1}=2，{A_1}{B_1}=\sqrt{2}，{C_1}M=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴四边形A₁B₁BD的面积$S=\frac{1}{2}（{A_1}D+B{B_1}）×{A_1}{B_1}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$…（10分）
∴四棱锥C₁-A₁B₁BD的体积$V=\frac{1}{3}×S×{C_1}M=\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考百四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．