Question

对于函数f（x）=

1

ax-1

+

1

2

（a＞1）．
（1）探究函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
（2）当a=2时，求函数f（x）在[-2，-1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先设0＜x₁＜x₂，再比较f（x₁）与f（x₂）的大小关系，依据定义作出判断，其间要对a进行讨论．
（2）先证明f（x）是奇函数，再结合（1）的结论，从而得到f（x）在[-2，-1]递减，从而求出函数的最值．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

1

ax1-1

-

1

ax2-1

=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

，
①当0＜a＜1时，ax2＜ax1＜a0=1，∴ax2-ax1＜0，ax1-1＜0，ax2-1＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）单调递增；
②当a＞1时，ax2＞ax1＞a0=1，∴ax2-ax1＞0，ax1-1＞0，ax2-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）单调递减．
综上，当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）为增函数；当a＞1时，f（x）在（0，+∞）为减函数．
（2）a=2时，f（x）=

1

2x-1

+

1

2

，f（-x）=

1

2-x-1

+

1

2

=1）由2^x-1≠0，得x≠0，∴定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．
∵f（-x）=

1

2-x-1

+

1

2

=-

2x+1

2(2x-1)

=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
由（1）知：函数f（x）在[1，3]上是减函数，由（1）知：f（x）为奇函数，
∴f（x）在[-2，-1]上也为减函数，
∴f（x）_max=f（-2）=-

5

6

，f（x）_min=f（-1）=-

3

2

．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，利用定义是解决该类问题的常用办法．