Question

18．已知圆C的圆心与双曲线M：y²-x²=$\frac{1}{2}$的上焦点重合，直线3x+4y+1=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=4．
（1）求圆C的标准方程；
（2）O为坐标原点，D（-2，0），E（2，0）为x轴上的两点，若圆C内的动点P使得|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，求$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出双曲线的标准方程求出焦点坐标，利用直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．
（2）根据|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，建立方程关系，结合向量数量积的坐标进行化简求解即可．

解答 解：（1）双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1，则c=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}$=1，
即双曲线的焦点C（0，1），
圆心C到直线3x+4y+1=0的距离d=$\frac{|0+4+1|}{5}=\frac{5}{5}=1$，
则半径r=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$．故圆C的标准方程为x²+（y-1）²=5．
（2）设P（x，y），∵|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，
∴$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=x²+y²，
整理得x²-y²=2，
故$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=2（y²-1），
由于P在圆C内，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-1）^{2}＜5}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
得y²-y-1＜0，得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜y＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
则0≤y²＜（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
∴2（y²-1）∈[-2，1+$\sqrt{5}$），
则$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$的取值范围是[-2，1+$\sqrt{5}$）．

点评 本题主要考查双曲线性质的综合应用以及向量数量积的应用，利用方程思想以及转化法是解决本题的关键．考查学生的转化能力．