Question

4．如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF=EG=1．
（1）求证：平面CFG⊥平面ACE；
（2）在AC上是否一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于点O，设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，运用中位线定理，以及线面垂直的判定定理，可得FG⊥平面ACE，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）设平面ACE交FG于Q，则Q为FG的中点，连接EQ，CQ，取CO的中点为H，由平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定，即可得到存在点H．

解答 解：（1）证明：连接BD交AC于点O，则BD⊥AC，
设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则MN∥BD，
连接FM，GN，则FM∥GN且FM=GN，所以MN∥FG，所以BD∥FG
由于AE⊥平面ABCD，所以 AE⊥BD，
所以FG⊥AC，FG⊥AE，所以FG⊥平面ACE，FG?平面CFG，
所以平面CFG⊥平面ACE．
（2）设平面ACE交FG于Q，则Q为FG的中点，
连接EQ，CQ，取CO的中点为H，则CH∥EQ，$CH=EQ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以四边形EQCH为平行四边形，
所以EH∥CQ，EH?平面CFQ，CQ?平面CFQ，
所以EH∥平面CFG，
所以，在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，且$CH=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查空间面面垂直的判定，注意运用线面垂直的判定定理，考查线面平行的存在性，考查运算和推理能力，属于中档题．