Question

设a＞0，集合A={（x，y）|

x≤3 x+y-4≤0 x-y+2a≥0

}，B={（x，y）|（x-1）²+（y-1）²≤a²}．若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是      （　　）

Answer 1

分析：分别作出集合A与集合B对应的平面区域，可得圆（x-1）²+（y-1）²=a²包含于图中三条直线构成的平面区域内，再由点到直线的距离公式建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．

解答：解：作出不等式组

x≤3 x+y-4≤0 x-y+2a≥0

表示的平面区域，
得到直线x+y-4=0、x-y+2a=0的下方，且在直线x=3的左边区域（图中黄色区域）
再作出（x-1）²+（y-1）²≤a²表示的平面区域，
得到以C（1，1）为圆心，半径为a的圆及其内部
∵点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，
∴集合B是集合A的真子集，即圆C到三个边界的距离均大于或等于半径a
∵直线AB：x+y-4=0到点C的距离最小，
∴

|1+1-4|

12+12

≥a，解之得0＜a≤

2

故选：A

点评：本题给出两个集合对应的平面区域，求它们之间的包含关系并求实数a的取值范围，着重考查了不等式组表示的平面区域点到直线的距离公式和充分必要条件的判断等知识，属于中档题．