Question

5．已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，一个焦点坐标为（2，0），离心率$e=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．过椭圆的焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设M（1，0），且$（{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}}）⊥\overrightarrow{AB}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆的焦点坐标为（2，0），得到双曲线的半焦距c，通过双曲线的离心率求解长半轴，短半轴，即可
求出椭圆的方程．
（2）设l的方程为y=k（x-2）（k≠0）代入$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）通过韦达定理，利用向量的数量积化简求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）设椭圆的右焦点为（c，0）
因为椭圆的焦点坐标为（2，0），所以c=2
因为$e=\frac{c}{a}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，则a²=5，b²=1
所以椭圆的方程为：$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$
（2）由（1）得F（2，0），设l的方程为y=k（x-2）（k≠0）代入$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$
得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则${x_1}+{x_2}=\frac{{20{k^2}}}{{5{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{20{k^2}-5}}{{5{k^2}+1}}$
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂-4），y₁-y₂=k（x₁-x₂）
所以$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=（{{x_1}-1，{y_1}}）+（{{x_2}-1，{y_2}}）=（{{x_1}+{x_2}-2，{y_1}+{y_2}}）$$\overrightarrow{AB}=（{{x_2}-{x_1}，{y_2}-{y_1}}）$
因为$（{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}}）•\overrightarrow{AB}=0$
所以（x₁+x₂-2）（x₂-x₁）+（y₂-y₁）（y₁+y₂）=0
所以$\frac{{20{k^2}}}{{5{k^2}+1}}-2-\frac{{4{k^2}}}{{5{k^2}+1}}=0$
所以3k²-1=0，所以$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
所以直线的方程为：$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x-2}）$

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．