若点F1.F2分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1左右两个焦点.过点F2垂直x轴的直线交双曲线及双曲线的渐近线依次为A1.B1.B2.A2.且$\overrightarrow{{A} {1}{A} {2}}$=4$\overrightarrow{{B} {1}{B} {2}}$.则双曲线的渐进线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．若点F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左右两个焦点，过点F₂垂直x轴的直线交双曲线及双曲线的渐近线依次为A₁，B₁，B₂，A₂（从上到下），且$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=4$\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{2}}$，则双曲线的渐进线方程为y=±$\frac{\sqrt{15}}{15}$x．

分析设左右焦点分别为（-c，0），（c，0），令x=c，代入双曲线的方程可得|B₁B₂|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，求出渐近线方程，代入x=c，可得
|A₁A₂|=$\frac{2bc}{a}$，再由$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=4$\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{2}}$，化简整理，可得a，b的关系，进而得到渐近线方程．

解答解：点F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，设为（-c，0），（c，0），
令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有|B₁B₂|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
由渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，令x=c，可得y=±$\frac{bc}{a}$，
可得|A₁A₂|=$\frac{2bc}{a}$，
由$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=4$\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{2}}$，可得$\frac{2bc}{a}$=4•$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
即有c=4b，a=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{15}$b，
则渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{15}}{15}$x．
故答案为：y=±$\frac{\sqrt{15}}{15}$x．

点评本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用联立方程组，求交点，考查向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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