Question

5．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P，若AB的中点为C，则|PC|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 先求出两条动直线经过的定点A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出PC．

解答 解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx-y-m+3=0即m（x-1）-y+3=0，经过点定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得|PC|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了直线恒过定点的应用问题，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是解题的突破口，是基础题目．