Question

9．已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；
（2）求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

Answer 1

分析 （1）圆O的方程即ρ²=ρcosθ+ρsinθ，可得圆O 的直角坐标方程为：x²+y²-x-y=0，直线l方程即ρsinθ-ρcosθ=1，可得直线l的直角坐标方程为：x-y+1=0；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-x-y=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，可得直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），由此求得线l与圆O公共点的极坐标．

解答 解（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ²=ρcosθ+ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x²+y²-x-y=0，
直线l：ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即ρsinθ-ρcosθ=1，则直线l的直角坐标方程为：x-y+1=0；
（2）由（1）知圆O与直线l的直角坐标方程分别为x²+y²-x-y=0和x-y+1=0，
将两方程联立得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-x-y=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为（0，1），
将（0，1）转化为极坐标为（1，$\frac{π}{2}$），故直线l与圆O公共点的一个极坐标为（1，$\frac{π}{2}$）．

点评 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．