Question

6．已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=2，PB=PC=1，则三棱锥P-ABC外接球的体积为$\sqrt{6}$π．

Answer 1

分析 以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的体积公式，可算出三棱锥P-ABC外接球的体积．

解答 解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图
则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球．
∵长方体的对角线长为$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴球直径为$\sqrt{6}$，半径R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
因此，三棱锥P-ABC外接球的体积$\frac{4}{3}π×（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{3}$=$\sqrt{6}$π．
故答案为：$\sqrt{6}$π．

点评 本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的体积，着重考查了长方体对角线公式和球的体积计算等知识，属于基础题．