Question

13．用数学归纳法证明：（1+2+3+…+n）（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）≥n²．（n∈N⁺）

Answer 1

分析 先验证n=1时结论成立，假设n=k时结论成立，用n表示出1+2+3+…+k，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k}$，代入当n=k+1时的式子进行整理即可得出结论．

解答 证明：当n=1时，1×1=1²，结论显然成立，
假设n=k时结论成立，即（1+2+3+…+k）（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k}$）≥k²，
∴1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k}$≥$\frac{{k}^{2}}{1+2+3+…+k}$=$\frac{2k}{k+1}$．
∴（1+2+3+…+k+（k+1））（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{k+1}$）=（1+2+3+…+k）（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k}$）+（1+2+3+…+k）×$\frac{1}{k+1}$+（k+1）（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k}$）+1．
≥k²+$\frac{k（k+1）}{2}×\frac{1}{k+1}$+（k+1）×$\frac{2k}{k+1}$+1=k²+$\frac{5k}{2}$+1＞（k+1）²．
∴当n=k+1时，结论成立．
∴（1+2+3+…+n）（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）≥n²．（n∈N⁺）

点评 本题考查了数学归纳法的应用，属于中档题．