Question

7．已知1-x+x²-x³+…+（-1）ⁿxⁿ=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a_n（x+1）ⁿ，且n为不小于2的自然数，则a₂=C${\;}_{n+1}^{3}$．（用n表示）

Answer 1

分析 x≠-1，利用等比数列的求和公式可得：1-x+x²-x³+…+（-1）ⁿxⁿ=$\frac{1-（-x）^{n+1}}{1+x}$=$\frac{1-[1-（x+1）]^{n+1}}{1+x}$，可得1-[1-（x+1）]ⁿ⁺¹=a₀（1+x）+a₁（1+x）²+${a}_{2}（1+x）^{3}$+…+${a}_{n}（1+x）^{n+1}$，且n≥2．于是-${∁}_{n+1}^{3}[-（1+x）]^{3}$=${∁}_{n+1}^{3}$（1+x）³=${a}_{2}（1+x）^{3}$，即可得出．

解答 解：∵x≠-1，1-x+x²-x³+…+（-1）ⁿxⁿ=$\frac{1-（-x）^{n+1}}{1+x}$=$\frac{1-[1-（x+1）]^{n+1}}{1+x}$，1-x+x²-x³+…+（-1）ⁿxⁿ=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a_n（x+1）ⁿ，
∴1-[1-（x+1）]ⁿ⁺¹=a₀（1+x）+a₁（1+x）²+${a}_{2}（1+x）^{3}$+…+${a}_{n}（1+x）^{n+1}$，且n≥2．
∴-${∁}_{n+1}^{3}[-（1+x）]^{3}$=${∁}_{n+1}^{3}$（1+x）³=${a}_{2}（1+x）^{3}$，
∴a₂=${∁}_{n+1}^{3}$．
故答案为：C${\;}_{n+1}^{3}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．