Question

9．如图所示，已知点A（-1，0）是抛物线的准线与x轴的焦点，过点A的直线与抛物线交于M，N两点，过点M的直线交抛物线于另一个点Q，且直线MQ过点B（1，-1）．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线QN过定点．

Answer 1

分析 （1）由题意，抛物线的准线方程为x=-1，即可求出抛物线的方程；
（2）设AM的方程为y=k（x+1），代入抛物线的方程，可得ky²-4y+4k=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），则y₁y₂=4，直线MB的方程为y+1=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$（x-1），可得y₂y₃+4（y₂+y₃）+4=0，直线QN的方程为y-y₂=$\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{3}}$（x-x₂），可得y₂y₃-y（y₂+y₃）+4x=0，即可得出直线QN过定点．

解答 （1）解：由题意，抛物线的准线方程为x=-1，
∴抛物线的方程为y²=4x；
（2）证明：设AM的方程为y=k（x+1），代入抛物线的方程，可得ky²-4y+4k=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），则y₁y₂=4，
由kMQ=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{{x}_{1}-{x}_{3}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$，
直线MB的方程为y+1=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$（x-1），
∴y₁+1=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$（x₁-1），
可得y₁=-$\frac{4+{y}_{3}}{1+{y}_{3}}$，
∴$\frac{4}{{y}_{2}}$=-$\frac{4+{y}_{3}}{1+{y}_{3}}$，
∴y₂y₃+4（y₂+y₃）+4=0
直线QN的方程为y-y₂=$\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{3}}$（x-x₂）
可得y₂y₃-y（y₂+y₃）+4x=0，
∴x=1，y=-4，
∴直线QN过定点（1，-4）

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．