Question

（全国Ⅱ卷理19文20）如图，正四棱柱中，

，点在上且．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

解法一：依题设知，．

（Ⅰ）连结交于点，则．

由三垂线定理知，．       3分

在平面内，连结交于点，

由于，

故，，

与互余．于是．

与平面内两条相交直线都垂直，

所以平面．    6分

（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，

故是二面角的平面角．  8分

，

，．

，．

又，．

．

所以二面角的大小为．    12分

解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系．

依题设，．

，

．   3分

（Ⅰ）因为，，

故，．又，

所以平面．    6分

（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，．

故，．

令，则，，．      9分

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小为．   12分