Question

10．写出1×4，2×5，3×6，…，n（n+3）的前n项的和公式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析 利用公式1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$和等比数列的求和公式进行猜想，再用数学归纳法证明．

解答 解：1×4+2×5+3×6+…+n（n+3）=$\frac{n（n+1）（n+5）}{3}$．
证明：当n=1时，1×4=4，$\frac{1×2×6}{3}$=4，显然结论成立；
假设n=k时，结论成立，即1×4+2×5+3×6+…+k（k+3）=$\frac{k（k+1）（k+5）}{3}$，
则n=k+1时，1×4+2×5+3×6+…+k（k+3）+（k+1）（k+4）=$\frac{k（k+1）（k+5）}{3}$+（k+1）（k+4）
=（k+1）（$\frac{k（k+5）}{3}$+k+4）=$\frac{（k+1）（{k}^{2}+8k+12）}{3}$
=$\frac{（k+1）（k+2）（k+6）}{3}$．
∴当n=k+1时，结论成立．
综上，1×4+2×5+3×6+…+n（n+3）=$\frac{n（n+1）（n+5）}{3}$．

点评 本题考查了数学归纳法，属于中档题．