Question

14．（用空间向量坐标表示解答）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，D为AB的中点．
（1）求证：AC₁∥面B₁CD
（2）求直线AA₁与面B₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面B₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$，只需证明$\overrightarrow{A{C}_{1}}$⊥$\overrightarrow{n}$即可；
（2）直线AA₁与面B₁CD所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|．

解答 解：（1）以C为坐标原点，以CA，CB，CC₁为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（2，0，0），C₁（0，0，2），C（0，0，0），D（1，1，0），B₁（0，2，2），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{CD}$=（1，1，0），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，2，2）．
设平面B₁CD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2y+2z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=-2+0+2=0，
∵AC₁?平面B₁CD，
∴AC₁∥面B₁CD．
（2）$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，0，2），
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{n}$=2，|$\overrightarrow{A{A}_{1}}$|=2，$|\overrightarrow{n}|$=$\sqrt{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{A}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线AA₁与面B₁CD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．