Question

16．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象与直线y=$\sqrt{3}$的三个相邻的交点分别为A（$\frac{π}{6}$，$\sqrt{3}$）、B（π，$\sqrt{3}$）、C（$\frac{7π}{6}$，$\sqrt{3}$）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=[f（x）]²+[f（x+$\frac{π}{3}$）]²，x∈[0，$\frac{π}{3}$]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和周期公式求出函数周期、ω的值，由正弦函数的性质求出f（x）的对称轴，由对称轴方程求出φ的值，把（$\frac{π}{6}$，$\sqrt{3}$）代入求出A，即可得到函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和两角和差的正弦公式化简g（x），由x的范围和正弦函数的性质求出g（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得函数f（x）的周期T=$\frac{7π}{6}-\frac{π}{6}=π$，
所以$\frac{2π}{ω}=π$，得ω=2，…（2分）
易知x=$\frac{\frac{π}{6}+π}{2}$=$\frac{7π}{12}$是f（x）图象的一条对称轴，
所以$2×\frac{7π}{12}+φ=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，则$φ=-\frac{2π}{3}+kπ（k∈Z）$，…（4分）
因为0＜φ＜$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{3}$，则f（x）=A$sin（2x+\frac{π}{3}）$，
因为f（x）过（$\frac{π}{6}$，$\sqrt{3}$），所以A$sin（2×\frac{π}{6}+\frac{π}{3}）$=$\sqrt{3}$，得A=2，…（6分）
所以函数f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$．…（7分）
（Ⅱ）由（I）得，g（x）=[f（x）]²+[f（x+$\frac{π}{3}$）]²
=$4si{n}^{2}（2x+\frac{π}{3}）+2si{n}^{2}（2x+π）$=2[1-cos（4x+$\frac{2π}{3}$）+1-cos4x]
=2[2+$\frac{\sqrt{3}}{2}sin4x-\frac{1}{2}cos4x$]=$4+2sin（4x-\frac{π}{6}）$  …（10分）
因为$0≤x≤\frac{π}{3}$，所以$-\frac{π}{6}≤4x-\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，则$-\frac{1}{2}≤sin（4x-\frac{π}{6}）≤1$，…（12分）
所以当$sin（4x-\frac{π}{6}）=1$，g（x）_max=6，
当$sin（4x-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{2}$时，g（x）_min=3．…（14分）

点评 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象解析式的确定，两角和差的正弦公式，以及正弦函数的性质，考查化简、变形能力，属于中档题．