Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|≠0，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{c}$，则向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{c}$的夹角是$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 可设$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=m≠0$，而由$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\sqrt{3}\overrightarrow{c}$便可得到$\overrightarrow{b}=\sqrt{3}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$，从而两边平方，进行向量数量积的运算，并整理便可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$的值，根据向量夹角的范围便可求出向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{c}$的夹角．

解答 解：设$|\overrightarrow{a}|=m≠0$，则$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=m$；
∴由$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\sqrt{3}\overrightarrow{c}$得：$\overrightarrow{b}=\sqrt{3}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$，两边平方得：
${\overrightarrow{b}}^{2}=3{\overrightarrow{c}}^{2}-2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+{\overrightarrow{a}}^{2}$；
∴${m}^{2}=3{m}^{2}-2\sqrt{3}{m}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞+{m}^{2}$；
整理得，$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∵$0≤＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞≤π$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=\frac{π}{6}$；
即向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$夹角为$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 考查向量长度的概念，向量夹角的概念及其范围，以及向量数量积的运算及计算公式，已知三角函数求角．