Question

14．在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成公比为q的等比数列，则q的取值范围为（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）．

Answer 1

分析 利用正弦定理可知a，b，c成公比数列，公比为q．于是b=aq，c=aq²，根据三角形两边之和大于第三边列出不等式组解出q的范围．

解答 解：∵sinA、sinB、sinC成公比为q的等比数列，
∴q=$\frac{sinB}{sinA}=\frac{sinC}{sinB}$，∴q=$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$．
∴b=aq，c=aq²．
由两边之和大于第三边得：$\left\{\begin{array}{l}{a+aq＞a{q}^{2}}\\{a+a{q}^{2}＞aq}\\{aq+a{q}^{2}＞a}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+q＞{q}^{2}}\\{1+{q}^{2}＞q}\\{q+{q}^{2}＞1}\end{array}\right.$，解得：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜q＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案为（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）．

点评 本题考查了正弦定理，不等式的解法，属于中档题．