Question

8．设函数f（x）=2x³+ax²+bx+1，若其导函数y=f'（x）的图象关于直线$x=-\frac{1}{2}$对称，且x=1是f（x）的一个极值点．
（1）求实数a，b的值；   
（2）若方程f（x）-k=0有3个实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）清楚函数的导数，利用导函数的对称性以及极值点，列出方程组求解即可．
（2）化简函数求出导函数，求出极值点，求出合适的极值，然后求解即可．

解答 解：（1）因f（x）=2x³+ax²+bx+1，故f'（x）=6x²+2ax+b，           （1分）
因为导函数y=f'（x）的图象关于直线$x=-\frac{1}{2}$对称，且x=1是f（x）的一个极值点．
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{2a}{12}=-\frac{1}{2}\\ 6+2a+b=0\end{array}\right.$     （4分）   
 解得$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-12\end{array}\right.$，经检验符合题意       （5分）
（2）由（1）知f（x）=2x³+3x²-12x+1，
令f'（x）=6x²+6x-12=0，解得x₁=-2，x₂=1，               （7分）

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	21	单调递减	-6	单调递增

从而函数f（x）在x₁=-2处取得极大值为21，在x₂=1处取得极小值为-6，       （10分）
因为方程f（x）-k=0有3个实数根，即函数y=f（x）图象与y=k的图象有3个交点，
∴-6＜k＜21，即实数k的取值范围是（-6，21）．                （12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断，考查分析问题解决问题的能力．