题目内容
已知Rt△ABC（∠A=90°）的外接圆为圆O，过A的切线AM交BC于点M，过M作直线交AB，AC于点D，E，且AD=AE（1）求证：MD平分角∠AMB；
（2）若AB=AM，求
| MC |
| MA |
考点：与圆有关的比例线段
专题：立体几何
分析：（1）由已知得∠ADE=∠AED，从而∠ABM+∠BMD∠EAM+∠AME，由弦切角定理得∠EAM=∠ABM，由此能证明MD平分角∠AMB．
（2）由等腰三角形性质和弦切角定理得∠ABM=∠AMC=∠MAC，从而∠ABC=30°，再推导出△AMC∽△BMA，由此能求出
的值．
（2）由等腰三角形性质和弦切角定理得∠ABM=∠AMC=∠MAC，从而∠ABC=30°，再推导出△AMC∽△BMA，由此能求出
| MC |
| MA |
解答：
（1）证明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，
∠ADE=∠ABM+∠BMD
∠AED=∠EAM+∠AME，
∵AM是切线，∴∠EAM=∠ABM，
∴∠BMD=∠AMD
∴MD平分角∠AMB．
（2）解：∵AB=AM，过A的切线AM交BC于点M，
∴∠ABM=∠AMC=∠MAC，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠AMB+∠MAC=3∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°，
∵∠AMC=∠AMC，∠MAC=∠ABC，∴△AMC∽△BMA，
∴
=
，
∵tan∠ABC=
=tan30°=
，
∴
=
．
∠ADE=∠ABM+∠BMD
∠AED=∠EAM+∠AME，
∵AM是切线，∴∠EAM=∠ABM，
∴∠BMD=∠AMD
∴MD平分角∠AMB．
（2）解：∵AB=AM，过A的切线AM交BC于点M，
∴∠ABM=∠AMC=∠MAC，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠AMB+∠MAC=3∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°，
∵∠AMC=∠AMC，∠MAC=∠ABC，∴△AMC∽△BMA，
∴
| MC |
| MA |
| AC |
| AB |
∵tan∠ABC=
| AC |
| AB |
| ||
| 3 |
∴
| MC |
| MA |
| ||
| 3 |
点评：本题考查MD平分角∠AMB的求明，考查
的值的求法，是中档题，解题时要注意弦切角定理的合理运用．
| MC |
| MA |
练习册系列答案
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复数Z=-
+
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| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
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A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
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