Question

5．已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA是圆C：x²+y²-3y=0的一条切线，A为切点，若PA长度的最小值为2，则k的值为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{4\sqrt{6}}{5}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．

解答 解：∵圆的方程为：x²+（y-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，
∴圆心C（0，$\frac{3}{2}$），半径r=$\frac{3}{2}$．
根据题意，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小．切线长为2，
∴PA=PB═2，
∴圆心到直线l的距离为d=$\sqrt{4+\frac{9}{4}}$=$\frac{5}{2}$．
∵直线kx+y+4=0，
∴$\frac{|0+\frac{3}{2}+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{5}{2}$，解得k=±$\frac{4\sqrt{6}}{5}$，
∵k＞0，∴所求直线的斜率为$\frac{4\sqrt{6}}{5}$．
故选B

点评 本题的考点是直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，解题的关键是“圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”属于中档题．