Question

12．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标（m，n），求：
（1）点P在直线x+y=7上的概率；
（2）点P在圆x²+y²=25外的概率．
（3）将m，n，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．

Answer 1

分析 （1）列格可知，所有的点P坐标（m，n）共计36个，其中满足x+y=7的有6个，由此求得P点在直线x+y=7上的概率．
（2）用列举法求得在圆x²+y²=25内的点P13个，在圆上的点P有2个，可得共有15个点在圆内或圆外，用1减去点在圆内或圆上的概率，即得所求；
（3）分类讨论求得这三条线段能围成等腰三角形的共有14种，而所有的情况共有6×6=36种，由此可得这三条线段能围成等腰三角形的概率．

解答 解：（1）列表如下；

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

由上表格可知，所有的点P坐标（m，n）共计36个，其中满足x+y=7的有6个，
所以P点在直线x+y=7上的概率为$\frac{6}{36}$=$\frac{1}{6}$；   
（2）在圆x²+y²=25内的点P有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），共计13个，
在圆上的点P有（3，4），（4，3），共计2个，
上述共有15个点在圆内或圆上，可得点P在圆x²+y²=25外的概率为
 1-$\frac{15}{36}$=$\frac{7}{12}$；
（3）当m=n时，它们可以都等于3、4、5、6，共计4种；
  当m=5时，n=1，2，3，4，6，共计5种；
n=5时，m=1，2，3，4，6，共计5种．
综上，这三条线段能围成等腰三角形的共有4+5+5=14种．
而所有的情况共有6×6=36种，
∴这三条线段能围成等腰三角形的概率为P=$\frac{14}{36}$=$\frac{7}{18}$．

点评 本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用问题，也考查了分类讨论的数学思想应用问题，是综合性题目．