Question

11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已2cosC（acosB+bcosA）=c．
（1）求角C；
（2）若c=$\sqrt{7}$，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知可得2cosCsinC=sinC，结合范围C∈（0，π），解得cosC=$\frac{1}{2}$，可得C的值．
（2）由三角形的面积公式可求ab=3，利用余弦定理解得a+b的值，即可得解△ABC的周长．

解答 解：（1）∵2cosC（acosB+bcosA）=c．
∴由正弦定理可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，可得：2cosCsin（A+B）=2cosCsinC=sinC，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴解得：cosC=$\frac{1}{2}$，可得：C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵c=$\sqrt{7}$，C=$\frac{π}{3}$，
∴由△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×a×b×\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：ab=3，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得：7=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=（a+b）²-9，解得：a+b=4，
∴△ABC的周长=a+b+c=4+$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．